Arithmetic of Complex numbers

Representations of Complex Numbers

A complex number is defined as follows
Complex number z = x + iy (x,y : real numbers, i=√(-1))
This is called a rectangular form of it which corresponds to a point on Complex plane.

According to above, a complex number also can be represented as below.
Complex number z = Z∠θ (Z=|z|=√(x^2+y^2), θ=atan(y/x))
This is called a polar form of it.

Arithmetic of Complex numbers

For 2 complex numbers a and b, let a=x1+iy1, b=x2+iy2 in rectangular forms, then arithmetic of them become
a+b=(x1+x2)+i(y1+y2)
a-b=(x1-x2)+i(y1-y2)
a*b=(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+ix2y1+ix1y2-y1y2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)
a/b=(x1+iy1)/(x2+iy2)=(x1+iy1)*(x2-iy2)/(x2^2-y2^2)=(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)+i(x2y1-x1y2)/(x2^2+y2^2)
Add and subtract are simple but multiply and divide are complicated.

However, when they are represented in polar forms as a=A∠θ1 and b=B∠θ2, multiply and divide are simply calculated as follows
a*b=A*B∠(θ1+θ2)
a/b=A/B∠(θ1-θ2)

Now with Number Mania, you can calculate complex numbers easily.

Let a = -0.34+i0.94 (1.0∠109.885), b = 2+i0.92 (2.201∠24.702)
a+b = -0.34+i0.94+2+i0.92 = 1.66+i1.86 (2.493∠48.252)
a-b = -0.34+i0.94-(2+i0.92) = -2.34+i0.02 (2.34∠179.51)
(See Fig. 1)

Also
a*b = 1.0∠109.885*2.201∠24.702 = -1.545+i1.568 (2.201∠134.587)
a/b = 1.0∠109.885/2.201∠24.702 = 0.038+i0.453 (0.454∠85.183)
(See Fig. 2)

[한국어(Korean)]

복소수의 사칙연산

복소수의 표현

복소수는 다음과 같이 정의된다.
복소수 z = x + iy (x,y : 실수, i=√(-1))
이 것을 복소수의 직교좌표형식이라 하고, 복소 평면상의 한 점에 대응한다.

위 사실에 착안하여 복소수를 다음과 같이 표현할 수도 있다.
복소수 z = Z∠θ (Z=|z|=√(x^2+y^2), θ=atan(y/x))
이 것을 복소수의 극좌표형식이라 한다.

복소수의 사칙연산

두 복소수 a와 b를 직교좌표형식으로 a=x1+iy1, b=x2+iy2 라고 할 때,
a+b=(x1+x2)+i(y1+y2)
a-b=(x1-x2)+i(y1-y2)
a*b=(x1+iy1)*(x2+iy2)=x1x2+ix2y1+ix1y2-y1y2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1)
a/b=(x1+iy1)/(x2+iy2)=(x1+iy1)*(x2-iy2)/(x2^2-y2^2)=(x1x2+y1y2)/(x2^2+y2^2)+i(x2y1-x1y2)/(x2^2+y2^2)
이다. 덧셈(a+b)과 뺄셈(a-b)은 간단하지만 곱셈(a*b)과 나눗셈(a/b)은 복잡함을 알 수 있다.

그런데 복소수 a, b를 극좌표형식으로 나타내면
a=A∠θ1, b=B∠θ2 라고 할 때,
a*b=A*B∠(θ1+θ2)
a/b=A/B∠(θ1-θ2) 으로 되어 계산이 간단해 진다.

이제 Number Mania를 사용하여 복소수의 사칙연산을 해 본다.

a = -0.34+i0.94 (1.0∠109.885), b = 2+i0.92 (2.201∠24.702) 라고 할 때,
a+b = -0.34+i0.94+2+i0.92 = 1.66+i1.86 (2.493∠48.252)
a-b = -0.34+i0.94-(2+i0.92) = -2.34+i0.02 (2.34∠179.51)
을 얻는다. (Fig. 1 참조)

또한
a*b = 1.0∠109.885*2.201∠24.702 = -1.545+i1.568 (2.201∠134.587)
a/b = 1.0∠109.885/2.201∠24.702 = 0.038+i0.453 (0.454∠85.183)
을 얻는다. (Fig. 2 참조)